परिचय
समान्तर श्रेढ़ी (Arithmetic Progressions) गणित की बीजगणित शाखा के अंतर्गत आती है। अपने परिवेश में, हमने देखा होगा कि कई चीजें कुछ प्रतिरूप (पैटर्न) या डिज़ाइन का अनुसरण करती हैं जैसे कि घर में फर्श पर लगाई गई टाइलें, एक पहिये की धारिया, सीढ़ियां, तरबूज पर बनी आकृतियाँ, आदि। इस निश्चित प्रतिरूप (पैटर्न) या डिज़ाइन को एक अनुक्रम कहा जाता है।
कुछ अनुक्रम में, प्रतिरूप (पैटर्न) एक समान रहते हैं लेकिन वे बार-बार आते है और कभी-कभी प्रतिरूप (पैटर्न) बढ़ते हुए या घटते हुए आते हैं लेकिन प्रत्येक पैटर्न में अपने पूर्ववर्ती के साथ समान संबंध होता है।
यह अनुक्रम, संख्याओं में भी देखा जा सकता है जिसे निश्चित श्रृंखला कहा जाता है। संख्याओं में पूर्ववर्ती पद (पिछला पद) द्वारा उत्तर पद (अगला पद) प्राप्त करने के लिए दो पदों के बीच अलग-अलग गणितीय संक्रियाएं हो सकती हैं जैसे कि जोड़, घटाव, गुणा, भाग, वर्ग आदि।
आइए संख्याओं के कुछ अनुक्रम लेते हैं-
- 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24……
- 100, 96, 92, 88, 84……
अनुक्रम में प्रत्येक संख्या को पद कहा जाता है।
अनुक्रम 1 में) प्रत्येक अगला पद पूर्ववर्ती पद से 3 अधिक है।
अनुक्रम 2 में) प्रत्येक अगला पद पूर्ववर्ती पद से 4 कम है।
एक समान्तर श्रेढ़ी क्या है?
वह अनुक्रम जिसमें प्रत्येक अगला पद (पहले पद को छोड़कर), पूर्ववर्ती पद (पिछला पद) में एक निश्चित संख्या (जो धनात्मक या नकारात्मक हो सकती है) को जोड़कर प्राप्त किया जाता है, उसे समान्तर श्रेढ़ी के रूप में जाना जाता है।
उदाहरण –
- 2, 4, 6, 8, 10, 12…….
- 5, 3, 1, -1, -3, -5……..
कक्षा 10 – गणित अध्याय 5 (समान्तर श्रेणियाँ )
उदाहरण 1) के लिए निश्चित संख्या 2 है
- उदाहरण 2) के लिए निश्चित संख्या – 2 है
इस निश्चित संख्या को सार्व अंतर (d) कहा जाता है।
सार्व अंतर पूर्ववर्ती पद को अगले पद से घटाकर प्राप्त किया जाता है। सार्व अंतर धनात्मक, नकारात्मक या शून्य हो सकता है।
उदाहरण 1) के लिए सार्व अंतर = 4 – 2 = 2, 6 – 4 = 2
उदाहरण 2) के लिए सार्व अंतर = 3 – 5 = -2, 1 – 3 = -2
समान्तर श्रेढ़ी का व्यापक रूप
किसी भी समान्तर श्रेढ़ी के लिए, यदि हम पहला पद a1, दूसरा पद a2, ………… .. और n वाँ पद an मानते हैं।
तब समान्तर श्रेढ़ी को a1, a2, a3, …………. an के रूप में लिखा जा सकता है। जहाँ n = 1,2,3 ……
तब सार्व अंतर a2 – a1 = a3 – a2 = ……….. = an – an-1 = d होगा
हम समान्तर श्रेढ़ी के प्रत्येक पद को प्राप्त कर सकते हैं यदि पहला पद a1 है और सार्व अंतर d है।
फिर दूसरा पद a2 = a1 + d
तीसरा पद a3 = a2 + d
……………………………….
n वाँ पद an = an-1 + d
तो हम समान्तर श्रेढ़ी को इस तरह लिख सकते हैं
a1, a1 + d, a2 + d, a3 + d,……………….an-1 + d
यदि हम समान्तर श्रेढ़ी का पहला पद a और सार्व अंतर d लेते हैं तो एक समान्तर श्रेढ़ी का व्यापक रूप होगा –
a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d,……………..a + (n – 1)d जहाँ n = 1,2,3…
यहाँ, a = पहला पद
समान्तर श्रेढ़ी के प्रकार
परिमित समान्तर श्रेढ़ी – एक समान्तर श्रेढ़ी जिसमें परिमित संख्याएँ होती हैं उसे परिमित समान्तर श्रेढ़ी कहते हैं। इस प्रकार की समान्तर श्रेढ़ी में अंतिम पद होता है।
उदाहरण – 5, 10, 15, 20, 25, 30 ………………………….100 (अंतिम पद)।
अपरिमित समान्तर श्रेढ़ी – एक समान्तर श्रेढ़ी जिसमें अनंत संख्या में पद होते हैं उसे अपरिमित समान्तर श्रेढ़ी कहा जाता है। इस प्रकार की समान्तर श्रेढ़ी में अंतिम पद नहीं होता है।
उदाहरण – 10, 20, 30, 40, 50, 60 ……………………………..
समान्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद (व्यापक पद)
हमें समान्तर श्रेढ़ी का व्यापक रूप पता हैं जो कि इस तरह लिखा जाता है
a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d,……………..a + (n – 1)d
इसी तरह, समान्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद ज्ञात करने के लिए हम सार्व अंतर d को (n – 1) से गुणा करेंगे और फिर पहले पद a में जोड़ेंगे जैसा व्यापक रूप में भी लिखा गया है।
an = a + (n – 1)d
यहाँ, an = n वाँ पद या व्यापक पद
a = पहला पद
n = पदों की संख्या
d = सार्व अंतर
यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी में परिमित पद हैं तो an अंतिम पद को दर्शाता है जिसे l द्वारा भी निरूपित किया जाता है।
समान्तर श्रेढ़ी में अंतिम पद (विपरीत ओर) से n वाँ पद
यदि हम अंतिम पद ’l’ को पहले पद के रूप में लेते हैं और उत्क्रम (उल्टा) सार्व अंतर – d के रूप में लेते है, तो अंतिम पद (विपरीत ओर) से n वाँ पद को निम्न रूप से लिखा जा सकता है।
अंतिम पद (विपरीत ओर) से n वाँ पद,
an = l + (n – 1)(-d)
an = l – (n – 1)d
समान्तर श्रेढ़ी के पदों का चयन कैसे करें यदि नहीं दिए गए है तो –
यदि कोई प्रश्न है जिसमें न तो समान्तर श्रेढ़ी दी गई है और न ही कोई पद दिया गया है और हमें समान्तर श्रेढ़ी ज्ञात करनी है तो हमें पदों को एक अलग क्रम में चयन करना होगा। अलग क्रम में पदों को चयन करने से हमें आसानी से समान्तर श्रेढ़ी ज्ञात करने में सहायता मिलती है। आइए देखें कि पदों का चयन कैसे करे।
यदि हमें तीन पद मानने हैं तो पद हैं – a – d, a, a + d
यदि हमें चार पद मानने हैं तो पद हैं – a – 3d, a – d, a + d, a + 3d
यदि हमें पाँच पद मानने हैं तो पद हैं – a – 2d, a – d, a, a + d, a + 2d
यदि हमें छः पद मानने हैं तो पद हैं – a – 5d, a – 3d, a – d, a + d, a + 3d, a + 5d
समान्तर श्रेढ़ी के पहले n पदों का योग
हम जानते हैं कि एक समान्तर श्रेढ़ी में n पद होते हैं और यदि हम पहले n पदों का योग करना चाहते हैं तो हमें क्या करना चाहिए, हम समान्तर श्रेढ़ी के सभी पदों को जोड़ देंगे लेकिन इसे हल करने में अधिक समय लगेगा। कभी-कभी यह विधि सही उत्तर नहीं देगी, समान्तर श्रेढ़ी के पहले n पदों को जोड़ने के लिए, एक आसान हल के लिए एक सूत्र है।
इसलिये, एक समान्तर श्रेढ़ी के पहले n पदों का योग Sn = n/2[2a + (n – 1)d]
यह ऐसे भी लिख सकते हैं Sn = n/2[a + a + (n – 1)d]
Sn = n/2[a + an] [∵ n वाँ पद an = a + (n – 1)d]
यदि समान्तर श्रेढ़ी में केवल n पद हैं तब an = l (अंतिम पद)
इसलिये, Sn = n/2[a + l]
यदि पहला पद (a) और अंतिम पद ( l ) दिया गया है तो उपरोक्त सूत्र उपयोगी है।
