बिहार बोर्ड मैट्रिक 10TH के गणित (Math) अध्याय 3 :- दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म का OBJECTIVE (QUIZ) QUESTIONS दिए गए है इसकी मदद से आप अपने परीक्षा की तैयारी को और बेहतर बना सकते है, हर सवाल में सही उतर पर हरा रंग और गलत उतर पर लाल रंग दिखाएंगे सारे सवालों का जवाब देने के बाद अंत में आपको अपना परिणाम मिलेगा - RSL PLUS 

दो चर वाले रैखिक समीकरण

युग्म समीकरण, जिसको ax + by + c = 0 के रूप में रखा जा सकता है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a और b दोनों शून्य नहीं हैं, दो चरों x और y में एक रैखिक समीकरण कहलाता है। (प्रतिबंध जैसे a और b दोनों शून्य नहीं हैं, हम प्रायः a² + b² ≠ 0 से प्रदर्शित करते हैं।)

दो चरों वाले रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 का प्रत्येक हल (x, y) इस समीकरण को निरूपित करने वाली रेखा के एक बिदु के संगत होता है और विलोमतः भी ऐसा होता है।

उदाहरण

समीकरण 2x + 3y = 5 के बाएं पक्ष में x = 1 और y = 1 रखने पर

बायाँ पक्ष 2(1) + 3(1) = 2 + 3 = 5, जो कि दायें पक्ष के बराबर है। अतः x = 1 और y = 1 समीकरण 2x + 3y = 5 का एक हल है।

रैखिक समीकरण युग्म

ये दो रैखिक समीकरण उन्हीं दो चरों x और y में हैं। इस प्रकार के समीकरणों को दो चरों में रैखिक समीकरणों का एक युग्म (या रैखिक समीकरण युग्म) कहते हैं।

उदाहरण

•  x – 2y = 0 (1)

•  3x + 4y = 20 (2)

हम इन समीकरणों के माध्यम से x और y के मान ज्ञात कर सकते हैं।

ज्यामितीय दृष्टि से रैखिक समीकरण युग्म

एक तल में यदि दो रेखाएँ दी हों, तो निम्न में से केवल एक ही संभावना हो सकती हैः

(i) दोनों रेखाएँ एक बिदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(ii) दोनों रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, अर्थात् वे समांतर हैं।

(iii) दोनों रेखाएँ संपाती हैं।

अधिक जानकारी इस क्विज के बाद दिया गया है।

कक्षा 10 - गणित अध्याय 3

स्मरणीय तथ्य

 1. दो चरों में दो रैखिक समीकरण एक रैखिक समीकरणों का युग्म कहलाता है। रैखिक समीकरण युग्म का सबसे व्यापक रूप हैः • a₁ x + b₁ y + c₁ = 0 • a₂ x + b₂ y + c₂ = 0 जहाँ a₁, a₂, b₁, b₂, c₁, c₂ ऐसी वास्विक संख्याएं हैं कि a₁² + b₁² ≠ 0, a₂² + b₂² ≠ 0

2. एक रैखिक समीकरण युग्म को ग्राफीय रूप में निरूपित किया जा सकता है और हल किया जा सकता है।

(i) ग्राफीय विधि द्वारा 
(ii) बीजगणितीय विधि द्वारा रैखिक समीकरण युग्म के प्रकार (Types Pair of Linear Equations) • 

(i) रैखिक समीकरणों का संगत युग्म • 
(ii) रैखिक समीकरणों का असंगत युग्म • 
(iii) रैखिक समीकरणों का आश्रित युग्म रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय विधि से हल एक रैखिक समीकरण युग्म को कैसे ग्राफीय रूप में दो रेखाओं में व्यक्त किया जाता है। 

आपने यह भी देखा है कि ये रेखाएँ प्रतिच्छेद कर सकती हैं या समांतर हो सकती हैं या संपाती हो सकती हैं। रैखिक समीकरण युग्म का बीजगणितीय विधि से सत्यापन हम बीजगणितीय रूप से यह सत्यापित करेंगे कि x = 4, y = 2 दिए हुए समीकरण युग्म का एक हल है। प्रत्येक समीकरण में x और y के मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं 4 – 2 × 2 = 0 और 3 × 4 + 4 × 2 = 20 है। अतः, हमने सत्यापित किया है कि x = 4, y = 2 दोनों समीकरणों का एक हल है। चूँकि (4, 2) दोनों रेखाओं का केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु है, इसलिए दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म का एक और केवल एक हल है। अब हम दो चरों में एक रैखिक समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाओं के व्यवहार को तथा हल के अस्तित्व होने को निम्न प्रकार से एक सारांश के रूप में व्यक्त कर सकते हैंः • 

(i) रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं। इस स्थिति में, समीकरण युग्म का अद्वितीय हल होता है (अविरोधी समीकरण युग्म)। •

(ii) रेखाएँ समांतर हो सकती हैं। इस स्थिति में, समीकरणों का कोई हल नहीं होता है (असंगत समीकरण युग्म)। • 

(iii) रेखाएँ संपाती हो सकती हैं। इस स्थिति में, समीकरणों के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं [आश्रित (संगत) समीकरण युग्म] रैखिक समीकरण युग्म के ज्यामितीय रूप उदाहरण के लिए नीचे दिए गए रैखिक समीकरण युग्म के गुणांको के सम्बंध से युग्म रेखाओं के निम्नलिखित ज्यामितीय रूप का निरूपण निम्न प्रकार से हैः • a1 x + b1 y + c1 = 0 ……… (1) • a2 x + b2 y + c2 = 0 ……… (2)

 • प्रतिस्थापन विधि क्या है? • हमने एक चर का मान दूसरे चर के पद में व्यक्त करके, रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के लिए प्रतिस्थापित किया है। इसलिए इस विधि को प्रतिस्थापन विधि कहते हैं।

 • विलोपन विधि • रैखिक युग्म समीकरण को बीजगणितीय विधि से हल करने के लिए प्रतिस्थापन विधि के अतिरिक्त अन्य विधि विलोपन की है। जिसमें एक चर को विलुप्त करके एक चर में रैखिक समीकरण प्राप्त करते हैं इससे एक चर का मान निकाल आता है। उसकी सहायता से दुसरे चर का मान भी प्राप्त कर सकते हैं।


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