बिहार बोर्ड मैट्रिक 10TH के गणित (Math) अध्याय 2 :- बहुपद का OBJECTIVE (QUIZ) QUESTIONS दिए गए है इसकी मदद से आप अपने परीक्षा की तैयारी को और बेहतर बना सकते है, हर सवाल में सही उतर पर हरा रंग और गलत उतर पर लाल रंग दिखाएंगे सारे सवालों का जवाब देने के बाद अंत में आपको अपना परिणाम मिलेगा - RSL PLUS

बहुपद

बहुपदः यदि एक चर है, n एक प्राकृत संख्या है और a_{0}, a_{1}, a_{2} ,...,a _(n) वास्तविक संख्याएँ हैं, तो p(x)=a n x^n +a n - 1 x^n-1 +...+a 1 x+a 0, चर x में एक बहुपद कहलाता है।

बहुपद f(x)=a n x^ prime prime +a n - 1 x^ n-1 +...+a 1 x+a 0 , tilde pi a_{n} * x ^ n ,a n-1 x^ n-1 ,...,a 1 x गुणांक कहलाते हैं। तथा a_{0} इसके पद कहलाते हैं और a n ,a n - 1 ,a n-2 ,...,a 1 और a_{0} उनकेगुणांक कहलाते हैं।
उदाहरण के लिए,
(i) p(x) = 3x - 2 चर x में एक बहुपद है।
(ii) q(y) = 3y ^ 2 - 2y + 4 चर y में एक बहुपद है।
(iii) f(u) = 1/2 * u ^ 3 - 3u ^ 2 + 2u - 4 (ii) चर u में एक बहुपद है।

 अधिक जानकारी इस क्विज के बाद दिया गया है।

कक्षा 10 - गणित अध्याय 2  





निम्न व्यंजकों पर ध्यान दीजिए: 2x ^ 2 - 3√x + 5, 1/(x ^ 2 - 2x + 5), 2x ^ 3 - 3/x + 4 उपरोक्त कोई भी व्यंजक बहुपद नहीं है

बहुपद की घातः चर x के बहुपद p(x) में x की उच्चतम घात बहुपद की घात कहलाती है। उदाहरण के लिए,

 (i) p(x) = 3x + 1/2 चर x में घात 1 का बहुपद है। 
 (ii) g(y) = 2y² – 3/2 * y + 7 चर y में घात 2 का एक बहुपद है। 

 (iii) p(x) = 5x ^ 3 - 3x ^ 2 + x - 1/√2 चर में घात 3 का एक बहुपद है।

 (iv) q(u) = 9u ^ 5 - 2/3 * u ^ 4 + u ^ 2 - 1/2 चर u में घात 5 का एक बहुपद है। 

नियतांक बहुपद (Constant Polynomial) शून्य घात का बहुपद नियतांक बहुपद कहलाता है। उदाहरण के लिए, f(x) = 7, g(x) = - 3/2, h(y) = 2, p(t) = 1 इत्यादि नियतांक बहुपद हैं।

नियतांक बहुपद 0 अथवा f(x) = 0 शून्य बहुपद कहलाता है। शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती है। क्योंकि f(x) = 0, g(x) = 0x, h(x) = 0x ^ 2, p(x) = 0x ^ 3, q(x) = 0x ^ 12 इत्यादि सभी शून्य बहुपद के बराबर हैं।

रैखिक बहुपद (Linear Polynomial) :- घात 1 वाला बहुपद रैखिक बहुपद कहलाता है। उदाहरण के लिए, p(x) = 4x - 3, q(y) = 3y, f(t) = sqrt(3) * t + 5 तथा रैखिक बहुपद हैं। g(u) = 2/3 * u - 5/2 इत्यादि f(x) = 2x ^ 2 + 3, g(x) = 3 - x ^ 2 आदि रैखिक बहुपद नहीं होते हैं। अधिक व्यापक रूप में, x में कोई रैखिक बहुपद निम्न रूप में लिखा जा सकता है: f(x) = ax + b जहाँ और b वास्तविक संख्याएँ हैं और a ne0 है। 

टिप्पणी 1: एक रैखिक बहुपद एकपदीय या द्विपदीय हो सकता है। क्योंकि, रैखिक बहुपद f(x) = 2/3 * x - 5/2 g(x) = 2/5 * x द्विपदीय द्विपदीय है जबकि रैखिक बहुपद एकपदीय है। द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial) घात 2 वाला बहुपद द्विघात बहुपद कहलाता है। द्विघात (quadratic) शब्द क्वाड्रेट (quadrate) शब्द से बना है, जिसका अर्थ है (वर्ग) (square) उदाहरण के लिए, f(x) = 2x ^ 2 + 3x - 4/5, g(y) = 2y ^ 2 - 3, ln(u) = 2 - u ^ 2 + √3 * u p(v) = √3 * v ^ 2 - 4/3 * v + 1/2, q(alpha) = 2/3 * alpha ^ 2 + 4alpha इत्यादि द्विघात बहुपद हैं। जिनके गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं व्यापक रूप में चर x में कोई द्विघात बहुपद f(x) = a * x ^ 2 + bx + c के रूप में होता है, जहाँ a,b,c वास्तविक संख्याएँ हैं और है। a≠0 

टिप्पणी 2: द्विघात बहुपद एकपदीय, द्विपदीय या त्रिपदीय हो सकता है, क्योंकि एकपदीय f(x) = 1/5 * x ^ 2 बहुपद है, 8(x) = 3x ^ 2 - 5 द्विपदीय है तथा h(x) = 3x ^ 2 - 2x + 5 त्रिपदीय बहुपद है।

त्रिघात बहुपद (Cubic Polynomial) :- घात 3 का बहुपद त्रिघात बहुपद कहलाता है। उदाहरण के लिए, (i) f(x)= 9/5 * x ^ 3 - 2x ^ 2 + 7/3 * x - 1/5 चर x में त्रिघात बहुपद है। (ii) g(y) = 2y ^ 3 + 5y - 7 चर y में त्रिघात बहुपद है। p(u) = (sqrt(2))/3 * u ^ 3 + 1 (iii) चर में त्रिघात बहुपद है। चर x में एक त्रिघात बहुपद का सबसे व्यापक रूप निम्न है: f(x) = a * x ^ 3 + b * x ^ 2 + cx + d जहाँ a ≠0,b,c,d वास्तविक संख्याएँ हैं। 

द्वि-द्विघात बहुपद (Biquadratic Polynomial) :- चार घात का बहुपद द्वि-द्विघात बहुपद कहलाता है। उदाहरण के लिए, 

 (i) f(x) = 3/5 * x ^ 4 - 2x ^ 3 + 3/2 * x ^ 2 - sqrt(2) * x + 1/5 चर x में द्वि-द्विघात बहुपद हैं हैं जिसके गुणांक वास्तविक संख्याएँ हैं।

(ii) g(y) = 2y ^ 4 + 3 चर में द्वि-द्विघात बहुपद हैं।
(iii) h(u) = 3u ^ 4 - 5u ^ 2 + 2 चर u में द्वि-द्विघात बहुपद हैं। चर x में द्वि-द्विघात बहुपद का सबसे व्यापक रूप निम्न है: f(x) = a * x ^ 4 + b * x ^ 3 + c * x ^ 2 + dx + c जहाँ a≠0,b,c,d,c वास्तविक संख्याएँ हैं। बहुपद का मान (Value of a polynomial) यदि f(x), चर x में एक बहुपद है और a कोई वास्तविक संख्या है, तो f(x) में x को a से प्रतिस्थापित करके प्राप्त गयी वास्तविक संख्या बहुपद f(x) का x= a पर मान कहलाती है और इसे f(a) द्वारा निरूपित किया जाता है। बहुपद f(x) = 2x ^ 2 - 3x - 2 के x = 1 और 2 पर निम्न मान हैं: f(1) = 2 * (1) ^ 2 - 3 * 1 - 2 = 2 - 3 - 2 = - 3 f(- 2) = 2 * (- 2) ^ 2 - 3(- 2) - 2 = 8 + 6 - 2 = 12 बहुपद के शून्यकः एक वास्तविक संख्या बहुपद f(x) का एक शून्यक होगा, यदि और केवल यदि f(a) =0 है। किसी भी बहुपद के शून्यक ज्ञात करने का अर्थ होता है समीकरण f(x) = 0 को हल करना। रैखिक बहुपद f(x) = ax + b जहाँ a≠0 है, का केवल एक शून्यक होता है। जिसका मान निम्न होता है: α = –b/a = -अचर पद /x का गुणांक 

रैखिक बहुपद का आलेख (Graph of a linear polynomial) :-  माना f(x) = ax + b ,a ne0 एक रैखिक बहुपद है। y = ax + b का आलेख एक सीधी रेखा होती है, यही कारण है कि f(x) = ax + b रैखिक बहुपद कहलाता है। चूँकि दो बिन्दु एक सीधी रेखा बनाते हैं इसलिए रेखा y = ax + b को निरूपित करने के लिए केवल दो बिन्दुओं की आवश्यकता होती है। y = ax + b के द्वारा निरूपित रेखा x-अक्ष को ठीक एक बिन्दु (- b/a, 0)पर काटती है। 
 द्विघात बहुपद का आलेख 

(Graph of a quadratic polynomial) :- यह आलेख एक परवलय (parabola) के रूप में है। इस परवलय में बिन्दु P परवलय का शीर्ष कहलाता है। P से गुजरती हुई उर्ध्व रेखा परवलय का अक्ष कहलाती है। परवलय उसके अक्ष के सापेक्ष सममित होता है इसलिए इसे सममितता की रेखा भी कहते हैं। 

प्रेक्षण (Observations):- बहुपद f(x) = x ^ 2 - 2x - 8 के आलेख से, हम निम्न जानकारी प्राप्त करते (i) x ^ 2 का गुणांक। है जो कि एक धनात्मक वास्तविक संख्या है इसलिए परवलय ऊपर की ओर खुलता है। (ii) (x - 4)(x + 2) दो विभिन्न रैखिक गुणनखण्डों (x - 4) और (x + 2) इसलिए, परवलय -अक्ष को दो विभिन्न बिन्दुओं (4,0) और (-2,0) पर काटता है। इन बिन्दुओं के x-निर्देशांक बहुपद f(x) के शून्यक हैं। (iii) 4 और 2 दो शून्यक हैं। इसलिए, परवलय x-अक्ष पर (4,0) और (-2,0)काटता है। (iv) a * x ^ 2 + bx + c से तुलना करने पर, हम पाते हैं कि a = 1 b = - 2 तथा 8 है। परवलय के शीर्ष के निर्देशांक (1,9) अर्थात् ((- b)/(2a), (- D)/(4a)) हैं , जहाँ D = b ^ 2 - 4ac है। (v) चूँकि D = b ^ 2 - 4ac = 4 + 32 = 6 > 0 है। अतः परवलय x-अक्ष को दो भिन्न-2 बिन्दुओं पर काटता है।

त्रिघात बहुपद का आलेख (Graph of a cubic polynomial) :- पिछले अनुभाग में, हमने देखा है कि द्विघात बहुपद का ग्राफ (आलेख) सदैव एक परवलय होता है जो ऊपर या नीचे की ओर खुलता है। इस अनुभाग में, हम देखेंगे कि त्रिघात बहुपद का ग्राफ कोई निश्चित आकार का नहीं होता है। हमने यह भी देखा कि द्विघात बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को स्पर्श या प्रतिच्छेद कर सकता है और नहीं भी, लेकिन, त्रिघात बहुपद की स्थिति में ग्राफ x-अक्ष को कम से कम एक बार तथा अधिक से अधिक तीन बार काटेगा


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